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Souvenez-vous.
Sachant qu’un point de fuite est défini par un ensemble de droites parallèles dans l’espace, et que ces droites sont définies par une direction qui se décompose en un vecteur u horizontal et un vecteur v vertical.
Si on pose que :
- ces deux vecteurs forment avec le vecteur w perpendiculaire à la feuille respectivement un angle alpha et un angle bêta
- que l est la distance (idéale) de l’oeil par rapport à la feuille
- et que x et y sont les coordonnées du point de fuite dans le repère orthonormé dont le point (0,0) est la position de l’oeil sur la feuille (projection par le vecteur w)

On a :

x = l tan(alpha)
y = l tan(bêta)

Je sais, personne ne suit… M’en fous, je me sers de ce blog comme pense-bête.

De cela, il découle que tous mes objets horizontaux auront un angle bêta nul, donc une coordonnée y nulle. D’où l’existence de la ligne d’horizon (y=0), tout simplement.
Donc, si ma ligne d’horizon n’est pas au milieu de ma feuille, ça signifie simplement que :
- Soit mon oeil (idéal) est (censé être )plus haut ou plus bas que le centre de la feuille.
- Soit l’ensemble des mes objets définissant des surfaces apparemment horizontales et une ligne d’horizon qui leur correspond ne sont pas horizontaux par rapport à mon oeil (pas parallèles au vecteur w dans l’espace, autrement dit que je regarde vers le haut ou vers le bas, que je suis en plongée ou contre plongée. Si c’est le cas, mes droites verticales ne seront pas elles-non plus perpendiculaires au vecteurs w, pas parallèles à la feuille. Ces droites verticales devront donc créer un nouveau point de fuite. Dans ce contexte de plongée ou contre-plongée, tout objet parallélépipédique rectangle doté d’une surface horizontale (par rapport au paysage) sera donc doté de trois points de fuites.

Et vlan. Première conséquence.

Deuxième conséquence :
Si je reste dans un plan qui n’est ni en plongée ni en contre plongée, si je dessine un objet parallélépipédique rectangle doté d’une surface horizontale, ses angle bêtas (pour chaque surface), à lui, sont nuls. Il n’a que des angles alpha. Il n’aura que deux points de fuite, sur la ligne d’horizon.
Si sa surface qui part sur la gauche fait un angle alpha1 avec le vecteur w, et si sa surface qui part sur la droite fait un angle alpha 2 avec la vecteur w, puisqu’on parle d’un parallélépipède rectangle, ces deux surfaces sont perpendiculaires donc :
alpha2=90°+alpha1
or tan(90°+alpha) = -1/tan(alpha)
donc :
x1=l tan(alpha1)
et x2 =l tan(alpha2) =l tan (90°+ alpha1) = – l /tan(alpha1)

Autrement dit x1*x2= -l² et x1/x2=-tan²(alpha1)

C’est-à-dire qu’une fois posés nos deux points de fuite, la distance de l’oeil par rapport au papier est figée. De même pour l’angle (réel) de l’objet par rapport à w. Si je dessine un nouvel objet, l étant déjà connu, il faut donc savoir que le premier point de fuite posé pour ce nouvel objet figera son angle (réel) et que le deuxième point de fuite ne pourra donc être posé qu’en fonction du premier, sous peine de distordre le nouvel objet. Mon premier objet dessiné a posé des lois à respecter sur le deuxième.

Voilà.
Fidèle ami lecteur, si tu veux des schémas pour compléter ce bourdel, et y comprendre quelque chose à mes explications toutes pourrites, t’as qu’à demander. Sinon, tant pis pour ta gueule. Je suis pas prof.

Bon. Il me reste encore à réfléchir un peu mieux aux trois points de fuite d’un objet parallélépipédique rectangle dont l’orientation est totalement quelconque, et surtout au problème de la diminution de taille selon la distance.

C’est marrant comme quelques minutes de réflexion permettent d’élucider un problème qu’on ne s’était jamais vraiment trop posé, mais dont une pseudo solution vous avait été livrée arbitrairement sans explication par des adultes dont c’était le boulot quand vous n’en étiez pas encore un.

Jamais on ne m’a expliqué pourquoi il y avait une ligne d’horizon. Ni des points de fuite. Juste qu’il en fallait, et que ça marchait.

Alors que…

Le point de fuite se positionne avec des coordonnées x et y, sur une feuille virtuellement infinie, en considérant que le point (0,0) soit le point directement en face de mon oeil (on ne dessine que pour un seul oeil), perpendiculairement à la feuille.
- Toutes les droites qui sont parallèles (dans l’espace) à cette droite perpendiculaire vont converger vers ce point de fuite, situé en (0,0) sur le papier.
- Toutes les droites parallèles entre elles, qui sont perpendiculaires à la droite [oeil<->point (0,0)] sont dans un plan parallèle à la feuille, donc leurs projections sur la feuille sont également des droites parallèles qui le resteront à l’infini. Bien sûr, pour l’oeil, à l’infini, ces droites ne forment qu’un point, mais à l’infini, leur projection sur la feuille, qui sont deux droites parallèles aussi, ne sont vues qu’au loin, donc en un point (puisque la feuille est elle aussi infinie).
- Par contre, les autres droites (ni perpendiculaires, ni parallèles à la feuille)… Toutes les droites parallèles se rejoignent à l’infini en un même point de fuite. Pourquoi ? Parce qu’un point donné d’une droite est visible à la seule condition qu’il existe une intersection entre la droite [oeil<->pt] et la dite droite observée. Le seul point à l’infini que je ne pourrai plus observer (le point de fuite), sera tel qu’il n’y aura plus cette intersection, donc quand ma droite [oeil<->pt] sera parallèle à la droite observée. Et toutes les droites qui y seront parallèles seront dans la même condition, ma droite [oeil<-> point de fuite] sera la même.
Toutes les droites parallèles sont définies par rapport au plan de la feuille par deux angles (vertical et horizontal). Ces deux angles vont donner les coordonnées du point de fuite sur la feuille. Pour une feuille normale, limitée dans l’espace, pourvue d’une largeur et d’une hauteur, il y a un angle horizontal maximal et un angle vertical maximal, sachant que la feuille se trouve à une distance donnée de l’oeil.

Bref, si le dessin est fait pour être vu à une distance l de l’oeil, si alpha est l’angle horizontal des droites dans l’espace, si béta est l’angle vertical, et si x et y sont les coordonnées des points de fuites sur la feuille, on a :
x = l tan(alpha)
y = l tan(bêta)

Ce qui tombe plutôt bien puisque tan(0)=0, et tan(90°) = l’infini.

Et, oh, puis je pourrais très bien vous l’expliquer avec un dessin de géométrie dans l’espace, mais la flemme.

Bon, en même temps, je me demande si on me l’avait pas déjà dit et si je ne l’ai pas oublié (mais je n’en ai pas du tout l’impression). Et j’aurais sûrement pu le trouver sur internet en cinq minutes. Sauf que je suis trop fier (et con) pour ça.

Et non seulement je l’ai mal expliqué, mais surtout ça n’est pas très intéressant.

Enfin, est-ce que ça l’est moins que de savoir que j’écoute les Smurfs en mangeant un croque-monsieur, et que je me suis cogné le gros orteil ce matin ?
Non. D’autant plus que c’est faux. Alors voilà.