Archives quotidiennes : 02/09/2010 à 01H02

C’est marrant comme quelques minutes de réflexion permettent d’élucider un problème qu’on ne s’était jamais vraiment trop posé, mais dont une pseudo solution vous avait été livrée arbitrairement sans explication par des adultes dont c’était le boulot quand vous n’en étiez pas encore un.

Jamais on ne m’a expliqué pourquoi il y avait une ligne d’horizon. Ni des points de fuite. Juste qu’il en fallait, et que ça marchait.

Alors que…

Le point de fuite se positionne avec des coordonnées x et y, sur une feuille virtuellement infinie, en considérant que le point (0,0) soit le point directement en face de mon oeil (on ne dessine que pour un seul oeil), perpendiculairement à la feuille.
- Toutes les droites qui sont parallèles (dans l’espace) à cette droite perpendiculaire vont converger vers ce point de fuite, situé en (0,0) sur le papier.
- Toutes les droites parallèles entre elles, qui sont perpendiculaires à la droite [oeil<->point (0,0)] sont dans un plan parallèle à la feuille, donc leurs projections sur la feuille sont également des droites parallèles qui le resteront à l’infini. Bien sûr, pour l’oeil, à l’infini, ces droites ne forment qu’un point, mais à l’infini, leur projection sur la feuille, qui sont deux droites parallèles aussi, ne sont vues qu’au loin, donc en un point (puisque la feuille est elle aussi infinie).
- Par contre, les autres droites (ni perpendiculaires, ni parallèles à la feuille)… Toutes les droites parallèles se rejoignent à l’infini en un même point de fuite. Pourquoi ? Parce qu’un point donné d’une droite est visible à la seule condition qu’il existe une intersection entre la droite [oeil<->pt] et la dite droite observée. Le seul point à l’infini que je ne pourrai plus observer (le point de fuite), sera tel qu’il n’y aura plus cette intersection, donc quand ma droite [oeil<->pt] sera parallèle à la droite observée. Et toutes les droites qui y seront parallèles seront dans la même condition, ma droite [oeil<-> point de fuite] sera la même.
Toutes les droites parallèles sont définies par rapport au plan de la feuille par deux angles (vertical et horizontal). Ces deux angles vont donner les coordonnées du point de fuite sur la feuille. Pour une feuille normale, limitée dans l’espace, pourvue d’une largeur et d’une hauteur, il y a un angle horizontal maximal et un angle vertical maximal, sachant que la feuille se trouve à une distance donnée de l’oeil.

Bref, si le dessin est fait pour être vu à une distance l de l’oeil, si alpha est l’angle horizontal des droites dans l’espace, si béta est l’angle vertical, et si x et y sont les coordonnées des points de fuites sur la feuille, on a :
x = l tan(alpha)
y = l tan(bêta)

Ce qui tombe plutôt bien puisque tan(0)=0, et tan(90°) = l’infini.

Et, oh, puis je pourrais très bien vous l’expliquer avec un dessin de géométrie dans l’espace, mais la flemme.

Bon, en même temps, je me demande si on me l’avait pas déjà dit et si je ne l’ai pas oublié (mais je n’en ai pas du tout l’impression). Et j’aurais sûrement pu le trouver sur internet en cinq minutes. Sauf que je suis trop fier (et con) pour ça.

Et non seulement je l’ai mal expliqué, mais surtout ça n’est pas très intéressant.

Enfin, est-ce que ça l’est moins que de savoir que j’écoute les Smurfs en mangeant un croque-monsieur, et que je me suis cogné le gros orteil ce matin ?
Non. D’autant plus que c’est faux. Alors voilà.